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Hello world, et π

Bonjour le monde! Ceci est le premier billet sur ce blog collectif francophone qui parlera de maths, d’informatique, de linguistique et de choses apparentées.

Pour commencer, voici un billet de maths élémentaires qui n’est bien sûr qu’un prétexte pour montrer le joli rendu des formules de maths en par MathJax.


Quelques formules où le nombre intervient

Je1 n’ai jamais été un fanatique de , ni de l’autre prétendant au statut de constante fondamentale du cercle euclidien. Généralement je considère que la vraie beauté des mathématiques est dans ses concepts et non dans des nombres individuels. Pourtant, en y réfléchissant récemment, je me suis rendu compte que avait tendance à apparaître dans plein de formules remarquables où on ne l’attend pas. Bien sûr, on trouve sur la Wikipédia anglophone une liste certainement non exhaustive de telles formules. Voici une petite sélection.

L’identité d’Euler :

Impossible d’y échapper : cette formule est souvent vendue auprès du grand public comme un summum de la beauté mathématique2, avec ses 5 constantes et 3 opérations fondamentales. C’est plutôt classe mais pourquoi se cantonnner à un cas particulier de ? Voilà une formule qui exprime à merveille comment algèbre, géométrie et analyse sont unifiées dans le plan complexe.

Une preuve de ce résultat, c’est d’écrire les séries entières des deux côtés et de simplement constater que ça marche. Mais comme est une fonction à variable réelle, on peut se passer des arguments d’analyse complexe (car c’est bien de ça dont il s’agissait : l’unique prolongement analytique de l’exponentielle). On peut constater par exemple que est solution de la bonne équation différentielle, ou encore qu’elle vérifie la propriété de morphisme et que sa dérivée en 0 est .

Le problème de Bâle

Il s’agit d’un défi résolu par Euler :

C’est quand même très surprenant. Ce résultat a connu beaucoup de preuves différentes, certaines élémentaires mais reposant sur des calculs astucieux à base de fonctions trigonométriques. La démonstration d’Euler était une arnaque que l’analyse complexe a su justifier a posteriori (voir plus loin).

Autre démonstration célèbre à base de séries de Fourier : appliquer l’identité de Parseval à une fonction « dents de scie », définie sur une période comme . J’ai découvert le résultat avec cette preuve en Terminale : coup de foudre immédiat! Vouloir comprendre la preuve m’a motivé à apprendre les bases de la théorie des espaces de Hilbert.

Plus généralement, tous les pour 3 sont des multiples rationnels de .

L’inégalité de Wirtinger

Encore un petit coup de Fourier : en comparant les coefficients de Fourier d’une fonction 1-périodique et de sa dérivée on obtient

Par exemple en travaillant sur des lacets simples dans le plan euclidien on peut obtenir l’inégalité isopérimétrique dont le cas d’égalité est le cercle : nous voilà revenus aux bases.

Le produit de Wallis

Un grand classique taupinal à base d’intégration par parties permet d’obtenir

Les formules faisant apparaître comme somme ou produit infini avec des fractions sont légion (pensons par exemple à avec sa série entière; ç’aurait été plus original avec du , tout ça…). Si celle-ci a l’honneur d’être choisie comme représentante du genre, c’est à cause de…

La formule de Stirling!

Trop fort. Et vraiment utile, contrairement aux autres formules ici présentes. On obtient ça à un facteur près en passant au logarithme et en bidouillant avec des séries téléscopiques; la constante est obtenue en injectant l’équivalent dans le produit de Wallis.

Donald Knuth a une démonstration alternative de l’apparition de là-dedans, qui relie nombres de Catalan et quart de disque.4

Formules trigonométriques stylées

C’est le théorème de factorisation de Hadamard5 qui justifie rigoureusement ce qu’Euler avait affirmé par simple analogie avec les polynômes, qui se factorisent à partir de leur racines. On en déduit en développant et en comparant les coefficients avec la série entière du sinus. Pour c’est la formule de Wallis qu’on retrouve.

Ce même théorème, appliqué à , mène à un truc hallucinant :

Encore une fois, d’autres preuves sont possibles, par exemple en se basant sur des fonctions de Green6.

En guise de conclusion

Le nombre , c’est frais7, l’analyse complexe, c’est encore mieux! D’ailleurs, une grande absente de cette liste de formules, c’est la formule intégrale de Cauchy, omise car sa grande beauté est indépendante de la présence ou non de dans le facteur constant.

  1. C’est ici, après un message collectif de bienvenue, que la voix individuelle de l’auteur de ces lignes fait surface.

  2. Trouvé sur Wikipédia : Keith Devlin aurait écrit « Like a Shakespearean sonnet that captures the very essence of love, or a painting that brings out the beauty of the human form that is far more than just skin deep, Euler’s equation reaches down into the very depths of existence ». Ça serait pas un peu exagéré?

  3. Même si Bourbaki ne l’a pas voulu, l’usage du « gras tableau noir » pour les ensembles usuels est une superbe convention, même à l’écrit.

  4. Vous venez sans doute de lire l’information la plus intéressante de ce billet.

  5. C’est-à-dire le théorème de Weierstrass dans le cas d’une fonction d’ordre fini.

  6. Voir à ce propos cet épique devoir maison donné à Fermat en MP* où on étudie le problème de Sturm-Liouville, en traitant pour les besoins du sujet le théorème d’Ascoli et la théorie des opérateurs auto-adjoints compacts, pour aboutir à la fin sur ce .

  7. « cool » en français, évidemment…