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Système métrique anglais et des choses plus sérieuses

Pour parler un peu de science amusante, pourquoi ne pas discuter des systèmes métriques? Quand se pose la question des mesures des poids, distances, volumes de choses liquides ou sèches1, les peuples et les ministères ne semblent jamais à court d’idées farfelues. Du moins, jusqu’à l’époque moderne et l’hégémonie du triste, insipide et totalitaire Système International. Mais nous nous égarons.

Prenez, par exemple, le système de mesure des masses avoirdupois2 post-elizabéthain, qui est grosso modo celui qu’utilisent officiellement les Américains et officieusement les Britanniques. Il contient sept unités :

  • on prend pour unité de base la drachme (en anglais actuel drachm ou dram), qui correspond à 1,772 g;

  • 16 drachmes font une once (ounce);

  • 16 onces font une livre (pound);

  • 14 livres font une pierre (stone);

  • 2 pierres font un quart (quarter, qui se dit par ailleurs sak de leine en anglo-normand);

  • 4 quarts font un quintal (hundredweight, qui fait, pour ceux qui suivent, environ 50,8kg);

  • 20 quintaux font une tonne (ton, qui fait donc… un peu plus qu’une tonne).

C’est beau, c’est joyeux, c’est coloré! Mais surtout, c’est l’occasion de se poser des problèmes mathématiques. Qu’est-ce, en somme, qu’un système métrique? C’est un système de représentation des nombres (qui doit avoir certaines qualités : être agréable, pratique, intuitif). Par exemple, au lieu de dire « À la saison dernière, ma châtaigneraie a donné exactement 1367399 drachmes de châtaignes », on dira « 2 tonne, 7 quintaux, 2 quarts, 1 pierre, 7 livres, 6 onces et 7 drachmes de châtaignes ». C’est plus parlant, on se représente plus aisément la quantité, et on peut arrêter d’écouter l’exploitant agricole après « quintaux » car on a déjà l’information intéressante.

Finalement, qu’a-t-on fait? On a représenté l’entier 1367399 comme une somme de sept éléments : le nombre de tonnes, de quintaux, de quarts, de pierres, de livres, d’onces et de drachmes. Cette décomposition a l’avantage d’exister pour tout nombre entier, et d’être unique si on s’interdit de dire des choses étranges comme « 17 onces » au lieu de « une livre et une once ». Autrement dit, on va considérer que l’ensemble « drachmes » contient 16 éléments (0 drachme, 1 drachme, …, 15 drachmes), l’ensemble « onces » en contient aussi 16, l’ensemble « livres » 14, etc. Seul l’ensemble « tonnes » contient une infinité d’éléments, mais celui-ci est un peu particulier, nous y reviendrons.

Le mathématicien N.G. de Bruijn s’est intéressé à ces questions de représentation des nombres comme sommes, dans un petit article très agréable de 19563. Toute la première partie de ce billet sera essentiellement un recopiage de cet article.

Bases additives

Ainsi donc, le système avoirdupois est pour nous une façon de représenter tout entier de manière unique comme une somme de 7 entiers pris dans 7 ensembles prédéfinis. Généralisons cette idée.

Définition : on appelle base additive de une famille de parties de indexée par fini ou infini, telles que tout entier s’écrit de manière unique comme somme (finie) d’éléments . Dans ce cas on note

Exemple : en observant le fonctionnement des systèmes métriques, on a une procédure pour construire des bases additives. On se donne une suite d’entiers supérieurs ou égaux à , puis on note

Enfin, on pose . Alors on a . On appelle système métrique britannique une base additive de cette forme.

Dans le cas du système avoirdupois, la suite commence par . C’est une suite finie, mais imaginons un instant qu’elle soit infinie. Alors, les entiers représentent le poids en drachmes d’une drachme, d’une once, d’une livre, etc. Les ensembles représentent les nombres de drachmes, d’onces, de livres… dans la masse considérée. Il est facile de se convaincre que ces ensembles forment une base additive.

Étant donné une base additive , on peut en construire beaucoup d’autres en effectuant un regroupement par paquets : on décompose comme union disjointe , et on note , c’est-à-dire que les éléments de s’écrivent comme des sommes finies . Alors les forment encore une base additive.

Cette manipulation permet en particulier d’obtenir le système avoirdupois, pour lequel on n’avait qu’une suite finie. Il suffit de continuer cette suite n’importe comment, puis de regrouper tous les ensembles à partir du septième4. Ce n’est pas un hasard, car on a le joli théorème suivant :

Théorème (de De Bruijn) : Toute base additive de peut s’obtenir comme regroupement par paquets d’un système métrique britannique.

Bases multiplicatives

Ainsi donc le cas des bases additives de est bien compris. Mais qu’en est-il, par exemple, des bases multiplicatives?

Définition : on appelle base multiplicative de une famille de parties de indexée par fini ou infini, telles que tout entier s’écrit de manière unique comme produit (fini) d’éléments . Dans ce cas on note

Question : pour ceux qui suivent : pourquoi ne s’intéresse-t-on pas aux bases multiplicatives de ?

En fait on va être modeste et s’intéresser par la suite au cas d’une base constituée de deux ensembles. Remarquons que

où le symbole désigne une union disjointe.

Densités asymptotiques

Pour , on définit

Lorsque ces deux quantités sont égales, on dit que A admet une densité asymptotique et on note leur valeur commune, qui est aussi la limite de .

Quel est le rapport avec la choucroute? C’est le petit théorème suivant.

Théorème : Si alors

en interprétant comme .

On va démontrer ce théorème, en commençant par un petit lemme :

Lemme : .

Démonstration du lemme : On remarque que donc

donc . Dans l’autre sens, on remarque que donc

donc et donc c’est égal. Pour la c’est pareil.

Passons à la preuve légèrement plus intéressante du théorème. Par le lemme de Fatou,

Or le terme de droite vaut puisque les partitionnent . Quant au terme de gauche, il vaut

par le lemme, et donc l’inégalité précédente donne

ce qui est la moitié du théorème. Pour l’autre moitié, on distingue deux cas :

  • Si , il n’y a rien à prouver.
  • Si est finie, on remarque que puis on applique le lemme de Fatou5 à , et on simplifie les . On obtient

    et comme précédemment, le terme de droite vaut 1 et le terme de gauche vaut par le lemme, ce qui termine la preuve.

Corollaire : Si et si admet une densité asymptotique alors

Quelques exemples d’utilisation

  • Soit , on pose et . On a clairement , et a pour densité , donc on découvre avec stupeur que

  • Soit l’ensemble des carrés, et l’ensemble des nombres squarefree, c’est-à-dire divisibles par aucun carré (i.e. produits de nombres premiers distincts). On a aussi , de plus , et donc la densité des nombres squarefree vaut . Évidemment il y a une arnaque : je n’ai pas prouvé que avait une densité (ce qui n’est pas facile à prouver, et sans doute plus profond que la valeur elle-même…).

  • Dans la même veine, je ne sais pas grand chose de , mais je suis convaincu que c’est l’inverse de la densité des nombres cubefree!

Vers une classification

De même que N.G. de Bruijn a classifié toutes les bases additives de , peut-on classifier toutes les bases multiplicatives de ? La question n’est pas simple. La décomposition en facteurs premiers nous donne une bijection entre et , les suites d’entiers à support fini. De plus cette bijection conjugue la multiplication des entiers avec l’addition des suites. Donc une base multiplicative de équivaut à une base additive de . Or celles-ci ne sont pas, à ma connaissance, classifiées (pas même d’ailleurs celles de , avis aux amateurs). Ça donne toutefois une recette pour fabriquer des bases multiplicatives, que voici.

  • Pour tout nombre premier , on choisit une base additive de (il est important que l’ensemble d’indices soit le même pour tout ).
  • Pour on pose , l’ensemble des entiers qui s’écrivent comme produits finis .
  • Alors les forment une base multiplicative de .

Les deux exemples donnés précédemment sont de ce type, mais en voici un qui ne l’est pas. Pour premier, on note la valuation -adique de , c’est-à-dire la puissance à laquelle apparaît dans la décomposition en facteurs premiers de . On pose et , c’est une base multiplicative qui n’est pas obtenue par la recette.

Je laisse ici ces considérations vagues, et vous enjoins à jouer avec le corollaire énoncé plus haut sans trop vous préocupper de montrer que les ensembles admettent une densité (de toute façon je suis convaincu que de tels ensembles sont tous assez sympa pour en admettre une). Par exemple, dans le paragraphe précédent, que vaut la densité de ?


  1. Car il existe des dénominations différentes pour ces deux choses.

  2. À prononcer avec l’accent anglais. C’est la contraction d’une locution en anglo-normand qui signifie en fait « avoirs de poids », c’est-à-dire les biens, les possessions du point de vue du poids, puisqu’il s’agissait de standardiser les échanges marchands. L’origine géographique de ce système reste incertaine, mais on peut dater son arrivée en Angleterre aux environs du 13ème siècle.

  3. de Bruijn, N. G. On number systems. Nieuw Arch. Wisk. (3) 4 (1956), 15–17. Voir aussi un article plus détaillé (i.e. sans arnaque) par M.B. Nathanson.

  4. On pourrait aussi adapter la définition d’une base additive pour des suites finies, mais dont le dernier élément vaut .

  5. Rappelons que pour utiliser le lemme de Fatou il faut que les fonctions soient positives. Il m’est arrivé d’écrire de grosses bêtises en oubliant cette hypothèse…